fbpx
Wikipedia

Poolkoördinatestelsel

In wiskunde is die poolkoördinatestelsel, of poolkoördinaatstelsel, 'n twee-dimensionele koördinatestelsel waarin punte aangegee word deur 'n hoek en 'n afstand. Die poolkoördinatestelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde, fisika, ingenieurswese, navigasie en robotika. Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word; in die Cartesiese koördinatestelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word. Vir baie soorte krommes is 'n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling; en vir sommige die enigste.

'n Punt M met poolkoördinate r {\displaystyle r} en θ {\displaystyle \theta }
'n Polêre rooster met die koördinaatlyne wat bestaan uit konsentriese sirkels in rooi waar r {\displaystyle r} = konstant en strale in blou waar θ {\displaystyle \theta } = konstant is. In hierdie geval is θ {\displaystyle \theta } 'n veelvoud van 30°.

Aangesien die koördinatestelsel tweedimensioneel is word elke punt deur twee polêre koördinate bepaal: die radiale-koördinaat en die hoekkoördinaat. Die radiale-koördinaat (gewoonlik voorgestel deur r {\displaystyle r} of ρ {\displaystyle \rho } ) dui die punt se afstand vanaf 'n sentrale punt wat as die pool (ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese stelsel) bekendstaan. Die hoekkoördinaat (wat ook bekendstaan as die poolhoek of die asimuthoek, gewoonlik deur θ {\displaystyle \theta } , ϕ {\displaystyle \phi } of t {\displaystyle t} voorgestel) dui die positiewe of antikloksgewyse hoek tussen die punt en die 0° straal of poolas (wat ekwivalent is aan die positiewe x-as in die Cartesiese koördinaatvlak is) aan. In die poolkoördinatestelsel is die koördinaatlyne dus konsentriese sirkels ( r {\displaystyle r} = konstant) en strale ( θ {\displaystyle \theta } = konstant) eerder as die reghoekige roosterpatroon wat by die Cartesiese koördinatestelsel ontstaan. Die poolkoördinatestelsel is dan ook ortogonaal aangesien die koördinaatlyne mekaar teen regtehoeke sny.

Die poolkoördinatestelsel kan op twee maniere na 'n driedimensionele stelsel uitgebrei word. In die silindriese koördinatestelsel word 'n derde koördinaat bygevoeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. In die sferiese koördinatestelsel word 'n punt afgestip deur die koördinate deur twee hoeke en die afstand van die oorsprong te spesifiseer.

Inhoud

Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het. Die sterrekundige Hipparchos (190-120 v.C.) het 'n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolkoördinate in die bepaling van sterposisies. In Oor Spirale, beskryf Archimedes sy beroemde spiraal, 'n funksie waarvan die radius afhang van die hoek. Die Griekse werk het egter nie sover as 'n volle koördinatestelsel gestrek nie.

Daar is verskeie bewerings oor wie poolkoördinate vir die eerste keer as deel van 'n formele koördinatestelsel gebruik het. Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel in Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates. Gréggoire de Saint-Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer. Saint-Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer, terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met 'n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het. Poolkoördinate is aanvanklik vir spesiale doeleindes gebruik vir die studie van sekere krommes voor dit as 'n algemene meetkundige stuk gereedskap aangeneem is. Cavalieri het poolkoördinate vir die eerste keer gebruik om 'n probleem oor die oppervlak binne 'n Archimedesspiraal op te los. Blaise Pascal het poolkoördinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese boë te bereken. Die probleem is wel te vore deur Roberval opgelos, maar sy oplossing is nie universeel as geldig aanvaar nie. James Gregory het 'n transformasie soortgelyk aan dié van Cavalieri tussen twee individuele krommes waar die oppervlaktes verwant was gebruik en Pierre Varignon het 'n effens aangepaste transformasie gebruik vir die studie van spirale.

In Method of Fluxions (geskryf in 1671, gepubliseer in 1736) was Sir Isaac Newton die eerste wat poolkoördinate oorweeg het as 'n algemene metode om enige punt in 'n vlak te bepaal. Newton het in Method of Fluxions agt nuwe koördinaatstelesels voorgestel wat bestaan het uit verskillende kombinasies pare van afstande wat radiaal van 'n gegewe punt, of sywaarts teenoor gegewe reguitlyne of kromlynig langs boë of sirkels gemeet is. Een van die nuwe stelsels, waarna Newton verwys het as Seventh Manner; For Spirals, is in wese wat vandag as die hedendaagse poolkoördinatestelsel bekendstaan. In Acta eruditorum (1691) het Jacob Bernoulli 'n stelsel met 'n punt op 'n lyn, onderskeidelik genaamd die pool en poolas, gebruik. Koördinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die poolas gegee. Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die koördinate uitgedruk is. In 1729, twee jaar ná Newton se dood, het Jacob Hermann poolkoördinate vir die eerste keer as 'n behoorlike element van beskrywende meetkunde gebruik in sy studie oor lokusse. Hermann het sy vergelyking nie in die moderne vorm uitgedruk nie, maar drie veranderlikes z, m, en n gebruik, waar z die radius was en m en n sinus en kosinus van die poolhoek. Waar sy voorgangers poolkoördinate vir die studie van spirale gebruik het, het hy dit uitsluitlik vir algebraïese krommes gebruik.

Die term coordinate polari, Italiaans vir poolkoördinate, word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik. Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik in George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal- en Integraalanalise.

Alexis Clairaut was die eerste om die uitbreiding van poolkoördinate na drie dimensies oorweeg, terwyl Leonhard Euler dit ontwikkel het.

Die punte (3,60°) en (4,210°)

Soos in ander tweedimensionele koördinatestelsels is daar twee poolkoördinate: r (die radiale koördinaat) en θ (die hoekkoördinaat, poolhoek of asimuthoek, soms voorgestel deur φ of t). Die r-koördinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af, en die θ-koördinaat die antiklokgewyse (linksom) hoek van die 0° straal (soms die poolas genoem), wat as die positiewe x-as op die Cartesiese koördinaatvlak bekend staan.

Byvoorbeeld, die poolkoördinate (3,60°) sal afgestip word as 'n punt 3 eenhede van die pool op die 60° straal. Die koördinate (−3,240°) sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as 'n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word (240° ; 180° = 60°).

Een belangrike aspek van die poolkoördinatestelsel wat nie in die Cartesiese koördinatestelsel is nie is die vermoë om 'n enkele punt met oneindig verkillende koördinate uit te druk. In die algemeen kan die punt (r, θ) uitgedruk word as (r, θ ± n×360°) of (r, θ (2n + 1)180°), waar n enige heelgetal is. 'n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolkoördinate is dat indien die r-koördinaat van 'n punt 0 is, sal die punt by die pool geleë wees, ongeag van die θ-koördinaat.

Gebruik van radiaalmeting

Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiale uitgedruk waar 2 rad = 360°. Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af. Navigasietoepassings gebruik grade terwyl sommige fisikatoepassings (spesifiek rotasie-meganika) radiaalmetings gebruik, gegrond op die verhouding van die radius van 'n sirkel tot die omtrek daarvan.

Omskakeling tussen pool- en Cartesiese koördinate

Diagram wat die verhouding tussen Cartesiese en poolkoördinate aandui

Die twee poolkoördinate r en θ kan na Cartesiese koördinate x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} omgeskakel word deur die trigonometriese funksies:

x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta \,}
y = r sin θ {\displaystyle y=r\sin \theta \,}

terwyl die twee Cartesiese koördinate x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} na die poolkoördinate r {\displaystyle r} omgeskakel kan word deur

r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,} (deur eenvoudig Pythagoras se stelling toe te pas).

om die hoek koördinaat θ te bepaal moet die volgende twee gedagtes oorweeg word:

  • Vir r {\displaystyle r} = 0, kan θ gestel word na enige reële waarde.
  • Vir r {\displaystyle r} ≠ 0, om 'n unieke voorstelling vir θ te verkry, moet dit beperk word tot 'n interval met grootte 2π. Konvensionele keuses vir so 'n interval is [0, 2π) en (−π, π].

Om θ in die interval [0, 2π) te verkry word die volgende gebruik ( arctan {\displaystyle \arctan } of boogtan dui die inverse van die tangens funksie aan):

θ = { arctan ( y x ) as x > 0 en y 0 arctan ( y x ) + 2 π as x > 0 en y < 0 arctan ( y x ) + π as x < 0 π 2 as x = 0 en y > 0 3 π 2 as x = 0 en y < 0 {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{as }}x>0{\mbox{ en }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{as }}x>0{\mbox{ en }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{as }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y<0\end{cases}}}

Om θ in die interval (−π, π] te verkry kan die volgende gebruik word:

θ = { arctan ( y x ) as x > 0 arctan ( y x ) + π as x < 0 en y 0 arctan ( y x ) π as x < 0 en y < 0 π 2 as x = 0 en y > 0 π 2 as x = 0 en y < 0 {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{as }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{as }}x<0{\mbox{ en }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{as }}x<0{\mbox{ en }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{as }}x=0{\mbox{ en }}y<0\end{cases}}}

'n Mens kan dit vermy om tred te hou met teller en noemer deur die atan2 funksie te gebruik wat aparte argumente vir die teller en noemer is.

Die vergelyking van 'n algebraïese kromme uitgedruk in poolkoördinate staan bekend as 'n poolvergelyking, en word gewoonlik geskryf met r as 'n funksie van θ.

Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon. As r(-θ) = r(θ) sal die kurwe simmetries om die horisontale (0°/180°) straal wees; as r(π−θ) = r(θ) sal dit simmetries om die vertikale (90°/270°) straal wees; as r(θ−α) = r(θ) sal dit rotasioneel simmetries α° antikloksgewys om die pool wees.

Sirkel

'n Sirkel met die vergelyking r(θ) = 1.

Die algemene vergelyking vir enige sirkel met 'n middelpunt by (r0, ) en radius a is

r 2 2 r r 0 cos ( θ φ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}}

Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle, soos die vergelyking

r ( θ ) = a {\displaystyle r(\theta )=a\,}

vir 'n sirkel met 'n middelpunt by die pool en 'n radius a.

Lyn

Radiale lyne (die wat deur die pool loop) word voorgestel deur die vergelyking

θ = φ {\displaystyle \theta =\varphi \,} ,

waar φ die hoogtehoek (elevasiehoek) van die lyn is; dit wil sê φ = arctan ( m ) {\displaystyle \varphi =\arctan(m)} met m die helling van die lyn in die Cartesiese koördinatestelsel.

Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot 'n radiale lyn. Die lyn wat die lyn θ = φ reghoekig kruis by die punt (r0,φ ) het die vergelyking

r ( θ ) = r 0 sec ( θ φ ) {\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )\,} .

Poolroos

'n Poolroos met vergelyking r(θ) = 2 sin 4θ .

'n Poolroos is 'n beroemde wiskundige kromme wat soos 'n blom met kroonblare lyk, en wat slegs as 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word beskryf deur die vergelykings

r ( θ ) = a cos ( k θ ) {\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta )\,} of
r ( θ ) = a sin ( k θ ) {\displaystyle r(\theta )=a\sin(k\theta )\,}

As k 'n heelgetal is sal die vergelykings 'n k-blaar roos produseer as k onewe is, of 'n 2k-blaar roos as k ewe is. As k nie 'n heelgetal is nie word 'n skyf gevorm, aangesien die aantal blare ook nie 'n heelgetal is nie. Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om 'n roos te maak met 2 meer as 'n veelvoud van 4 (2, 6, 10, ens.) blare. Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos.

Archimedesspiraal

Een arm van die Archimedesspiraal met die vergelyking r(θ) = θ vir 0 < θ < 6.

Die Archimedesspiraal is 'n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deur 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word uitgedruk deur die vergelyking:

r ( θ ) = a + b θ {\displaystyle r(\theta )=a+b\theta \,} .

Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen die arms beheer, wat altyd konstant is. Die Archimedesspiraal het twee arms, een vir θ > 0 en een vir θ < 0. Die twee arms is glad verbind by die pool. Die spieëlbeeld van een arm oor die 90°/270°-lyn sal die ander arm lewer.

Keëlsnitte

Ellips, wat die semi-latus rectum vertoon

Keëlsnitte word uitgedruk deur die vergelyking

r = l ( 1 + e cos θ ) {\displaystyle r={l \over (1+e\cos \theta )}}

waar l die semi-latus rectum is en e die eksentrisiteit is.

As e < 1 definieer die vergelyking 'n ellips, as e = 1 definieer dit 'n parabool en as e > 1 definieer 'n hiperbool.

Ander krommes

As gevolg van die sirkulêre basis van die koördinatestelsel is dit baie eenvoudiger om sekere krommes deur 'n vergelyking in poolkoördinate eerder as in Cartesiese vorm uit te druk. Onder die krommes tel lemniskaat, limaçons, en kardioïde.

'n Illustrasie van 'n komplekse getal z afgeteken op die komplekse vlak
'n Illustrasie van 'n komplekse getal afgeteken op die komplekse vlak deur van Euler se formule gebruik te maak

Komplekse getalle, geskryf in reghoekige vorm as a + bi, kan ook op twee verskillende maniere in poolvorm uitgedruk word:

  1. r ( cos θ + i sin θ ) {\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\,} , afgekort r cis θ {\displaystyle r{\mbox{ cis }}\theta \,}
  2. r e i θ {\displaystyle re^{i\theta }\,}

wat beide ekwivalent is volgens Euler se formule. Om tussen reghoekige en poolkomplekse getalle om te skakel word die volgende omskakelingsformules gebruik:

a = r cos θ {\displaystyle a=r\cos \theta \,}
b = r sin θ {\displaystyle b=r\sin \theta \,}
en daarom r = a 2 + b 2 {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}

Vermenigvuldiging, deling, en magsverheffing, en die bepaling van wortels van komplekse getalle is dit baie makliker om poolkomplekse getalle te gebruik as reghoekige komplekse getalle. In afgekorte vorm:

  • Vermenigvuldiging:
( r cis θ ) ( R cis φ ) = r R cis ( θ + φ ) {\displaystyle (r{\mbox{ cis }}\theta )*(R{\mbox{ cis }}\varphi )=rR{\mbox{ cis }}(\theta +\varphi )\,}
  • Deling:
r cis θ R cis φ = r R cis ( θ φ ) {\displaystyle {\frac {r{\mbox{ cis }}\theta }{R{\mbox{ cis }}\varphi }}={\frac {r}{R}}{\mbox{ cis }}(\theta -\varphi )\,}
( r cis θ ) n = r n cis ( n θ ) {\displaystyle (r{\mbox{ cis }}\theta )^{n}=r^{n}{\mbox{ cis }}(n\theta )\,}

Analise kan op vergelykings wat in poolkoördinate uitgedruk is toegepas word.

Die hoekkoördinaat θ word in hierdie afdeling deurgaans in radiale uitgedruk.

Differensiasie

Ons het die volgende formules:

r r = x x + y y {\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}
θ = y x + x y . {\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}.}

Om die Cartesiese helling van die raaklyn aan die poolkromme r(θ) by enige gewe punt te verkry word die punt eers as 'n stel parametriese vergelykings geskryf.

x = r ( θ ) cos θ {\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \,}
y = r ( θ ) sin θ {\displaystyle y=r(\theta )\sin \theta \,}

Differensiasie van beide vergelykings met betrekking tot θ lewer

d x d θ = r ( θ ) cos θ r ( θ ) sin θ {\displaystyle {\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,}
d y d θ = r ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ {\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \,}

Deur die tweede vergelyking deur die eerste te deel word die Cartesiese helling van die raaklyn tot die kromme by punt (r, r(θ)) verkry:

d y d x = r ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ r ( θ ) cos θ r ( θ ) sin θ {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}}

Intergraalanalise

Die integrasie oor gebied R word begrens deur die kromme r(θ) en die strale θ = a en θ = b.

Laat R die gebied aandui ingesluit deur r(θ) en die strale θ = a en θ = b, waar 0 < ba < 2π. Dan is die oppervlak van R

1 2 a b r ( θ ) 2 d θ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\,d\theta .}
Die gebied R word benader deur n sektore (hier, n = 5).

Hierdie resultaat kan as volg gevind word. Eers word die interval [a, b] verdeel in n subintervalle, waar n 'n arbitrêre positiewe heelgetal is. Dus Δθ, die lengte van elke subinterval, is gelyk aan ba (die totale lengte van die interval), gedeel deur n, die aantal subintervalle. Vir elke subinterval i = 1, 2, …, n, laat θi die middelpunt van die subinterval wees, en konstrueer 'n sektor met die middelpunt by die pool, radius ri), sentrale hoek Δθ en booglengte r ( θ i ) Δ θ {\displaystyle r(\theta _{i})\Delta \theta \,} . Die oppervlak van elke gekonstrueerde sektor is dus gelyk aan 1 2 r ( θ i ) 2 Δ θ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\Delta \theta } . Gevolglik is die totale oppervlak van al die sektore

i = 1 n 1 2 r ( θ i ) 2 Δ θ . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\,\Delta \theta .}

Soos die aantal subintervalle n vermeerder word, word die benadering van die oppervlak al hoe beter. In die limiet soos n → ∞, word die som die Riemann som vir die bostaande integraal.

Veralgemening

Deur Cartesiese koördinate te gebruik kan 'n infinitesimale oppervlak element bereken word as dA = dx dy. Die substitusie reël vir vermenigvuldiging stel dat, wanneer ander koördinate gebruik word, die Jacobiaanse determinant van die koördinateomskakelingformule oorweeg moet word:

J = det ( x , y ) ( r , θ ) = | x r x θ y r y θ | = | cos θ r sin θ sin θ r cos θ | = r cos 2 θ + r sin 2 θ = r . {\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r.}

Gevolglik kan 'n oppervlak element in poolkördinate geskryf word as

d A = J d r d θ = r d r d θ . {\displaystyle dA=J\,dr\,d\theta =r\,dr\,d\theta .}

Nou, 'n funksie wat in poolkoördinate gegee word kan as volg geïntegreer word:

R f ( r , θ ) d A = a b 0 r ( θ ) f ( r , θ ) r d r d θ . {\displaystyle \iint _{R}f(r,\theta )\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\,r\,dr\,d\theta .}

Hier is R dieselfde gebied as hier bo, naamlik, die gebied ingesluit deur 'n kromme r(θ) en die strale θ = a en θ = b.

Die formule vir die oppervlak van R word verkry deur f identies gelyk aan 1 te neem. 'n Meer verrassende toepassing van hierdie resultaat gee die Gauss integraal

e x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}

Vektoranalise

Analise kan toegepas word op uitdrukkings in poolkoördinate. Laat r {\displaystyle \mathbf {r} } die posisievektor ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) {\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))\,} wees, met r en θ {\displaystyle \theta } wat afhang van tyd t, laat r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 'n eenheidsvektor in die regting r {\displaystyle \mathbf {r} } wees en θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} 'n eenheidsvektor reghoekig tot r {\displaystyle \mathbf {r} } . Die eerste een tweede afgeleides van posisie is

d r d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ , {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},} .
d 2 r d t 2 = ( r ¨ r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^ . {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}

Laat A {\displaystyle \mathbf {A} } die oppervlakte wees gevee deur 'n lyn wat die fokus met 'n punt op die kromme verbind. In die limiet is d A {\displaystyle d\mathbf {A} } helfte van die oppervlak van die parallelogram gevorm deur r {\displaystyle \mathbf {r} } en d r {\displaystyle d\mathbf {r} } ,

d A = 1 2 | r × d r | {\displaystyle dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |} ,

en die totale oppervlak sal die integraal van d A {\displaystyle d\mathbf {A} } met betrekking tot tyd wees.

Die poolkoördinatestelsel word deur twee verskillende koördinatestelsels na drie dimensies uitgebrei, die silindriese en sferiese koördinatestelsels.

Silindriese koördinate

'n Punt afgestip met silindriese koördinate

Die silindriese koördinatestelsel is 'n koördinatestelsel wat die tweedimensionele poolkoördinatestelsel uitbrei na drie dimensies deur 'n derde koördinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. Die derde dimensie word gewoonlik deur h voorgestel wat die drie koördinate (r, θ, h) lewer.

Die drie silindriese koördinate kan na Cartesiese koördinate omgeskakel word deur

x = r cos θ {\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }
y = r sin θ {\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }
z = h {\displaystyle {z}={h}\,}

Sferiese koördinate

'n Punt afgestip deur middel van sferiese koördinate

Poolkoördinate kan ook na drie dimensies uitgebrei word deur die sferiese koördinatestelsel. In die koördinatestelsel word 'n punt afgestip deur die koördinate (ρ, φ, θ) waar ρ afstand van die pool is, φ die hoek van die z-as (bekend as die Engels: colatitude of zenith en gemeet van 0 tot 180°) en θ die hoek van die x-s (soos in die poolkoördinatestelsel). Die sferiese koördinatestelsel soortgelyk aan die breedtegraad en lengtegraad stelsel wat op die aarde gebruik word, met die breedtegraaddie komplement van φ, wat bepaal word deur δ = 90° − φ, en die lengtegraad gemeet word deur l = θ − 180°.

Die drie sferiese koördinate word omgekakels na Cartesiese koördinate deur

x = ρ sin ϕ cos θ {\displaystyle x=\rho \,\sin \phi \,\cos \theta }
y = ρ sin ϕ sin θ {\displaystyle y=\rho \,\sin \phi \,\sin \theta }
z = ρ cos ϕ {\displaystyle z=\rho \,\cos \phi }

Poolkoördinate is tweedimensioneel en kan dus slegs gebruik word waar punte op 'n enkele tweedimensionele vlak lê. Poolkoördinate is veral geskik in gevalle waar die verskynsel wat beskryf word inherent verband hou met die lengte en rigting van 'n sentrale punt. Elementêre poolkoördinaatvergelyking kan by voorbeeld krommes soos die Archimedesspiraal beskryf terwyl die ekwivalente vergelyking in Cartesiese koördinate heelwat meer ingewikkeld sou wees. Verder word baie fisiese verskynsels, soos die wat bemoei is met liggame wat om 'n sentrale punt beweeg of waar verskynsels hulle oorsprong by 'n sentrale punt het, kan baie eenvoudiger en op meer intuïtiewe wyse gemodelleer wanneer poolkoördinate gebruik word. Die aanvanklike rede vir die invoer van die poolkoördinatestelsel was om die studie van sirkulêre en orbitale beweging moontlik te maak

Posisie en navigasie

Poolkoördinate word baiekeer in navigasie gebruik aangesien die bestemming en bewegingsrigting as 'n hoek en die afstand van voorwerp wat beskou word gegee kan word. Vliegtuie gebruik byvoorbeeld 'n effens aangepaste weergawe van die poolkoördinatestelsel vir navigasie. In die stelsel, wat gewoonlik vir enige vorm van navigasie gebruik word, word die 0° straal gewoonlik 360 genoem, en word die hoek in kloksgewyse rigting gemeet eerder as in die teenkloksgewyse rigting wat in die wiskundige stelsel gebruik word. 360 kom ooreen met Noord, terwyl 90, 180, en 270 onderskeidelik met Oos, Suid, en Wes, ooreenkom. Dus sal 'n vliegtuig wat teen 5 seemyl oosvlieg teen 5 eenhede in rigting 90 (lees niner-zero lugverkeerbeheer) wees.

Modellering

Stelsel wat radiale simmetrie vertoon vorm 'n natuurlike toepassingsveld vir die poolkoördinatestelsel, met die middelpunt wat as die pool dien. 'n Goeie voorbeeld van die gebruik is die grondwatervloeivergelyking wanneer toegepas op radiaal simmetriese putte. Stelsels met 'n radiale krag is ook goeie kandidate vir die gebruik van die poolkoördinatestelsel. Dit sluit in gravitasievelde, wat die omgekeerde-vierkantwet gehoorsaam, sowel as stelsels met puntbronne soos radio antennes.

Radiaal asimmetriese stelsels kan ook met poolkoördinate gemodelleer. 'n Mikrofoon se opvangspatroon illustreer byvoorbeeld die eweredige reaksie tot 'n inkomende klank uit enige gegewe rigting, en die patrone kan voorgestel word as polêre krommes. Die kromme van 'n standaard kardioïedmikrofoon, die mees algemene eenrigtingmikrofoon, kan voorgestel word asr = .5 + .5 sin θ.

Kepler se wette van planetêre beweging

Kepler se tweede wet

Poolkoördinate is 'n natuurlike omgewing vir die uitdruk van Kepler se wette van planetêre beweging. Kepler se eerste wet stel dat die wentelbaan van 'n planeet om 'n ster 'n ellips vorm met een fokus by die middelpunt van die massamiddelpunt van die stelsel. Bogenoemde vergelyking kan gebruik word om die ellips voor te stel. Kepler se tweede wet, die wet van gelyke oppervlaktes stel dat 'n lyn wat 'n planeet en sy ster verbind gelyke oppervlaktes vee tydens die gelyke tydintervalle, dit wil sê d A d t {\displaystyle d\mathbf {A} \over dt} is konstant. Die vergelykings kan afgelei word van Newton se bewegingswette.

Wikimedia Commons bevat media in verband met Polar coordinate system.
  1. Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason (red.). Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
  2. , , besoek op 24 Februarie 2008
  3. , , besoek op 24 Februarie 2008
  4. Friendly, Michael. (in Engels). vanaf die oorspronklike op 20 Maart 2011. Besoek op10 September 2006.
  5. Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly. 59: 78–85.
  6. CB Boyer, , The American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 2 (Feb., 1949), pp. 73-78
  7. Klaasen, Daniel. Historical Topics for the Mathematical Classroom.
  8. Miller, Jeff. (in Engels). Geargiveer vanaf op 19 Julie 2008. Besoek op10 September 2006.
  9. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. p. 324.
  10. Coolidge haal hom as volg aan: "A l'égard des courbes á double courbure, dont les coordonnes partent d'un point, ou dont les coordonnées représentent des lignes courbes, elles demandent une méthode particuliere, et peuvent fournier le sujet d'un autre Traité que je compte donner au public." (Wat betref 'n kromme met dubbele kromming, waarvan die koördinate die kromminglyne verteenwoordig, dit vereis 'n spesifieke metode, en kan die onderwerp van 'n ander verhandeling wees wat ek beplan om openbaar te maak). Die aanhaling is uit Clairaut, Recherches sur les courbes B double courbure, Parys, 1731, laaste bladsy van die Inleiding. Hy het egter sover bekend nooit voortgegaan met die openbaar maak van die gedagte nie.
  11. (PDF). 2006-04-13. (PDF) vanaf die oorspronklike op 2007-09-28. Besoek op2006-09-22.
  12. Principles of Physics. Brooks/ColeThomson Learning. 2005. ISBN 0-534-49143-X.Onbekende parameter |coauthors= geïgnoreer (help)
  13. Torrence, Bruce Follett (1999). The Student's Introduction to Mathematica®. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59461-8.Onbekende parameter |coauthors= geïgnoreer (help)
  14. (in Engels). Geargiveer vanaf op 2 Maart 2000. Besoek op25 Mei 2006.
  15. Ward, Robert L. (in Japannees). vanaf die oorspronklike op 9 Oktober 2019. Besoek op25 Mei 2006.
  16. Smith, Julius O. (2003). . Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Geargiveer vanaf op 2006-09-15. Besoek op2006-09-22.
  17. Husch, Lawrence S. (in Engels). vanaf die oorspronklike op 1 Maart 2000. Besoek op25 November 2006.
  18. Lawrence S. Husch. (in Engels). vanaf die oorspronklike op 21 November 2019. Besoek op25 November 2006.
  19. Wattenberg, Frank (1997). (in Engels). Geargiveer vanaf op 16 Mei 2013. Besoek op16 September 2006.
  20. Santhi, Sumrit. (in Frans). vanaf die oorspronklike op 25 Oktober 2019. Besoek op26 November 2006.
  21. (PDF) (pdf). (PDF) vanaf die oorspronklike op 2006-01-03. Besoek op2007-01-15.
  22. Eargle, John (2005). Handbook of Recording Engineering (4th uitg.). Springer. ISBN 0-387-28470-2.

Poolkoördinatestelsel
poolkoördinatestelsel, taal, wysig, aangestuur, vanaf, poolkoördinate, wiskunde, poolkoördinatestelsel, poolkoördinaatstelsel, twee, dimensionele, koördinatestelsel, waarin, punte, aangegee, word, deur, hoek, afstand, poolkoördinatestelsel, word, baie, velde, . Poolkoordinatestelsel Taal Hou dop Wysig Aangestuur vanaf Poolkoordinate In wiskunde is die poolkoordinatestelsel of poolkoordinaatstelsel n twee dimensionele koordinatestelsel waarin punte aangegee word deur n hoek en n afstand Die poolkoordinatestelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde fisika ingenieurswese navigasie en robotika Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word in die Cartesiese koordinatestelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word Vir baie soorte krommes is n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling en vir sommige die enigste n Punt M met poolkoordinate r displaystyle r en 8 displaystyle theta n Polere rooster met die koordinaatlyne wat bestaan uit konsentriese sirkels in rooi waar r displaystyle r konstant en strale in blou waar 8 displaystyle theta konstant is In hierdie geval is 8 displaystyle theta n veelvoud van 30 Aangesien die koordinatestelsel tweedimensioneel is word elke punt deur twee polere koordinate bepaal die radiale koordinaat en die hoekkoordinaat Die radiale koordinaat gewoonlik voorgestel deur r displaystyle r of r displaystyle rho dui die punt se afstand vanaf n sentrale punt wat as die pool ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese stelsel bekendstaan Die hoekkoordinaat wat ook bekendstaan as die poolhoek of die asimuthoek gewoonlik deur 8 displaystyle theta ϕ displaystyle phi of t displaystyle t voorgestel dui die positiewe of antikloksgewyse hoek tussen die punt en die 0 straal of poolas wat ekwivalent is aan die positiewe x as in die Cartesiese koordinaatvlak is aan 1 In die poolkoordinatestelsel is die koordinaatlyne dus konsentriese sirkels r displaystyle r konstant en strale 8 displaystyle theta konstant eerder as die reghoekige roosterpatroon wat by die Cartesiese koordinatestelsel ontstaan Die poolkoordinatestelsel is dan ook ortogonaal aangesien die koordinaatlyne mekaar teen regtehoeke sny 2 3 Die poolkoordinatestelsel kan op twee maniere na n driedimensionele stelsel uitgebrei word In die silindriese koordinatestelsel word n derde koordinaat bygevoeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koordinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word In die sferiese koordinatestelsel word n punt afgestip deur die koordinate deur twee hoeke en die afstand van die oorsprong te spesifiseer Inhoud 1 Geskiedenis 2 Uitstip van punte met poolkoordinate 2 1 Gebruik van radiaalmeting 2 2 Omskakeling tussen pool en Cartesiese koordinate 3 Poolvergelykings 3 1 Sirkel 3 2 Lyn 3 3 Poolroos 3 4 Archimedesspiraal 3 5 Keelsnitte 3 6 Ander krommes 4 Komplekse getalle 5 Analise 5 1 Differensiasie 5 2 Intergraalanalise 5 2 1 Veralgemening 5 3 Vektoranalise 6 Drie dimensies 6 1 Silindriese koordinate 6 2 Sferiese koordinate 7 Toepassings 7 1 Posisie en navigasie 7 2 Modellering 7 3 Kepler se wette van planetere beweging 8 VerwysingsGeskiedenis Wysig Bonaventura Cavalieri Sir Isaac Newton Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het Die sterrekundige Hipparchos 190 120 v C het n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolkoordinate in die bepaling van sterposisies 4 In Oor Spirale beskryf Archimedes sy beroemde spiraal n funksie waarvan die radius afhang van die hoek Die Griekse werk het egter nie sover as n volle koordinatestelsel gestrek nie Daar is verskeie bewerings oor wie poolkoordinate vir die eerste keer as deel van n formele koordinatestelsel gebruik het Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel in Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates 5 6 Greggoire de Saint Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer Saint Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het Poolkoordinate is aanvanklik vir spesiale doeleindes gebruik vir die studie van sekere krommes voor dit as n algemene meetkundige stuk gereedskap aangeneem is Cavalieri het poolkoordinate vir die eerste keer gebruik om n probleem oor die oppervlak binne n Archimedesspiraal op te los Blaise Pascal het poolkoordinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese boe te bereken Die probleem is wel te vore deur Roberval opgelos maar sy oplossing is nie universeel as geldig aanvaar nie James Gregory het n transformasie soortgelyk aan die van Cavalieri tussen twee individuele krommes waar die oppervlaktes verwant was gebruik en Pierre Varignon het n effens aangepaste transformasie gebruik vir die studie van spirale 5 In Method of Fluxions geskryf in 1671 gepubliseer in 1736 was Sir Isaac Newton die eerste wat poolkoordinate oorweeg het as n algemene metode om enige punt in n vlak te bepaal Newton het in Method of Fluxions agt nuwe koordinaatstelesels voorgestel wat bestaan het uit verskillende kombinasies pare van afstande wat radiaal van n gegewe punt of sywaarts teenoor gegewe reguitlyne of kromlynig langs boe of sirkels gemeet is Een van die nuwe stelsels waarna Newton verwys het as Seventh Manner For Spirals is in wese wat vandag as die hedendaagse poolkoordinatestelsel bekendstaan 7 In Acta eruditorum 1691 het Jacob Bernoulli n stelsel met n punt op n lyn onderskeidelik genaamd die pool en poolas gebruik Koordinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die poolas gegee Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die koordinate uitgedruk is In 1729 twee jaar na Newton se dood het Jacob Hermann poolkoordinate vir die eerste keer as n behoorlike element van beskrywende meetkunde gebruik in sy studie oor lokusse Hermann het sy vergelyking nie in die moderne vorm uitgedruk nie maar drie veranderlikes z m en n gebruik waar z die radius was en m en n sinus en kosinus van die poolhoek Waar sy voorgangers poolkoordinate vir die studie van spirale gebruik het het hy dit uitsluitlik vir algebraiese krommes gebruik 7 Die term coordinate polari Italiaans vir poolkoordinate word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik in George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal en Integraalanalise 8 9 10 Alexis Clairaut was die eerste om die uitbreiding van poolkoordinate na drie dimensies oorweeg 11 terwyl Leonhard Euler dit ontwikkel het Uitstip van punte met poolkoordinate Wysig Die punte 3 60 en 4 210 Soos in ander tweedimensionele koordinatestelsels is daar twee poolkoordinate r die radiale koordinaat en 8 die hoekkoordinaat poolhoek of asimuthoek soms voorgestel deur f of t Die r koordinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af en die 8 koordinaat die antiklokgewyse linksom hoek van die 0 straal soms die poolas genoem wat as die positiewe x as op die Cartesiese koordinaatvlak bekend staan 1 Byvoorbeeld die poolkoordinate 3 60 sal afgestip word as n punt 3 eenhede van die pool op die 60 straal Die koordinate 3 240 sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word 240 180 60 Een belangrike aspek van die poolkoordinatestelsel wat nie in die Cartesiese koordinatestelsel is nie is die vermoe om n enkele punt met oneindig verkillende koordinate uit te druk In die algemeen kan die punt r 8 uitgedruk word as r 8 n 360 of r 8 2n 1 180 waar n enige heelgetal is 12 n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolkoordinate is dat indien die r koordinaat van n punt 0 is sal die punt by die pool gelee wees ongeag van die 8 koordinaat Gebruik van radiaalmeting Wysig Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiale uitgedruk waar 2 rad 360 Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af Navigasietoepassings gebruik grade terwyl sommige fisikatoepassings spesifiek rotasie meganika radiaalmetings gebruik gegrond op die verhouding van die radius van n sirkel tot die omtrek daarvan 13 Omskakeling tussen pool en Cartesiese koordinate Wysig Diagram wat die verhouding tussen Cartesiese en poolkoordinate aandui Die twee poolkoordinate r en 8 kan na Cartesiese koordinate x displaystyle x en y displaystyle y omgeskakel word deur die trigonometriese funksies x r cos 8 displaystyle x r cos theta y r sin 8 displaystyle y r sin theta terwyl die twee Cartesiese koordinate x displaystyle x en y displaystyle y na die poolkoordinate r displaystyle r omgeskakel kan word deur r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 deur eenvoudig Pythagoras se stelling toe te pas om die hoek koordinaat 8 te bepaal moet die volgende twee gedagtes oorweeg word Vir r displaystyle r 0 kan 8 gestel word na enige reele waarde Vir r displaystyle r 0 om n unieke voorstelling vir 8 te verkry moet dit beperk word tot n interval met grootte 2p Konvensionele keuses vir so n interval is 0 2p en p p Om 8 in die interval 0 2p te verkry word die volgende gebruik arctan displaystyle arctan of boogtan dui die inverse van die tangens funksie aan 8 arctan y x as x gt 0 en y 0 arctan y x 2 p as x gt 0 en y lt 0 arctan y x p as x lt 0 p 2 as x 0 en y gt 0 3 p 2 as x 0 en y lt 0 displaystyle theta begin cases arctan frac y x amp mbox as x gt 0 mbox en y geq 0 arctan frac y x 2 pi amp mbox as x gt 0 mbox en y lt 0 arctan frac y x pi amp mbox as x lt 0 frac pi 2 amp mbox as x 0 mbox en y gt 0 frac 3 pi 2 amp mbox as x 0 mbox en y lt 0 end cases Om 8 in die interval p p te verkry kan die volgende gebruik word 14 8 arctan y x as x gt 0 arctan y x p as x lt 0 en y 0 arctan y x p as x lt 0 en y lt 0 p 2 as x 0 en y gt 0 p 2 as x 0 en y lt 0 displaystyle theta begin cases arctan frac y x amp mbox as x gt 0 arctan frac y x pi amp mbox as x lt 0 mbox en y geq 0 arctan frac y x pi amp mbox as x lt 0 mbox en y lt 0 frac pi 2 amp mbox as x 0 mbox en y gt 0 frac pi 2 amp mbox as x 0 mbox en y lt 0 end cases n Mens kan dit vermy om tred te hou met teller en noemer deur die atan2 funksie te gebruik wat aparte argumente vir die teller en noemer is Poolvergelykings WysigDie vergelyking van n algebraiese kromme uitgedruk in poolkoordinate staan bekend as n poolvergelyking en word gewoonlik geskryf met r as n funksie van 8 Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon As r 8 r 8 sal die kurwe simmetries om die horisontale 0 180 straal wees as r p 8 r 8 sal dit simmetries om die vertikale 90 270 straal wees as r 8 a r 8 sal dit rotasioneel simmetries a antikloksgewys om die pool wees Sirkel Wysig n Sirkel met die vergelyking r 8 1 Die algemene vergelyking vir enige sirkel met n middelpunt by r0 en radius a is r 2 2 r r 0 cos 8 f r 0 2 a 2 displaystyle r 2 2rr 0 cos theta varphi r 0 2 a 2 Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle soos die vergelyking r 8 a displaystyle r theta a vir n sirkel met n middelpunt by die pool en n radius a 15 Lyn Wysig Radiale lyne die wat deur die pool loop word voorgestel deur die vergelyking 8 f displaystyle theta varphi waar f die hoogtehoek elevasiehoek van die lyn is dit wil se f arctan m displaystyle varphi arctan m met m die helling van die lyn in die Cartesiese koordinatestelsel Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot n radiale lyn 16 Die lyn wat die lyn 8 f reghoekig kruis by die punt r0 f het die vergelyking r 8 r 0 sec 8 f displaystyle r theta r 0 sec theta varphi Poolroos Wysig n Poolroos met vergelyking r 8 2 sin 48 n Poolroos is n beroemde wiskundige kromme wat soos n blom met kroonblare lyk en wat slegs as n poolvergelyking uitgedruk kan word Dit word beskryf deur die vergelykings r 8 a cos k 8 displaystyle r theta a cos k theta of r 8 a sin k 8 displaystyle r theta a sin k theta As k n heelgetal is sal die vergelykings n k blaar roos produseer as k onewe is of n 2k blaar roos as k ewe is As k nie n heelgetal is nie word n skyf gevorm aangesien die aantal blare ook nie n heelgetal is nie Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om n roos te maak met 2 meer as n veelvoud van 4 2 6 10 ens blare Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos Archimedesspiraal Wysig Een arm van die Archimedesspiraal met die vergelyking r 8 8 vir 0 lt 8 lt 6 Die Archimedesspiraal is n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deur n poolvergelyking uitgedruk kan word Dit word uitgedruk deur die vergelyking r 8 a b 8 displaystyle r theta a b theta Verandering van die parameter a sal die spiraal draai terwyl b die afstand tussen die arms beheer wat altyd konstant is Die Archimedesspiraal het twee arms een vir 8 gt 0 en een vir 8 lt 0 Die twee arms is glad verbind by die pool Die spieelbeeld van een arm oor die 90 270 lyn sal die ander arm lewer Keelsnitte Wysig Ellips wat die semi latus rectum vertoon Keelsnitte word uitgedruk deur die vergelyking r l 1 e cos 8 displaystyle r l over 1 e cos theta waar l die semi latus rectum is en e die eksentrisiteit is As e lt 1 definieer die vergelyking n ellips as e 1 definieer dit n parabool en as e gt 1 definieer n hiperbool Ander krommes Wysig As gevolg van die sirkulere basis van die koordinatestelsel is dit baie eenvoudiger om sekere krommes deur n vergelyking in poolkoordinate eerder as in Cartesiese vorm uit te druk Onder die krommes tel lemniskaat limacons en kardioide Komplekse getalle Wysig n Illustrasie van n komplekse getal z afgeteken op die komplekse vlak n Illustrasie van n komplekse getal afgeteken op die komplekse vlak deur van Euler se formule gebruik te maak Komplekse getalle geskryf in reghoekige vorm as a bi kan ook op twee verskillende maniere in poolvorm uitgedruk word r cos 8 i sin 8 displaystyle r cos theta i sin theta afgekort r cis 8 displaystyle r mbox cis theta r e i 8 displaystyle re i theta wat beide ekwivalent is volgens Euler se formule 17 Om tussen reghoekige en poolkomplekse getalle om te skakel word die volgende omskakelingsformules gebruik a r cos 8 displaystyle a r cos theta b r sin 8 displaystyle b r sin theta en daarom r a 2 b 2 displaystyle r sqrt a 2 b 2 Vermenigvuldiging deling en magsverheffing en die bepaling van wortels van komplekse getalle is dit baie makliker om poolkomplekse getalle te gebruik as reghoekige komplekse getalle In afgekorte vorm Vermenigvuldiging r cis 8 R cis f r R cis 8 f displaystyle r mbox cis theta R mbox cis varphi rR mbox cis theta varphi dd Deling r cis 8 R cis f r R cis 8 f displaystyle frac r mbox cis theta R mbox cis varphi frac r R mbox cis theta varphi dd Magsverheffing De Moivre se formule r cis 8 n r n cis n 8 displaystyle r mbox cis theta n r n mbox cis n theta dd Analise WysigAnalise kan op vergelykings wat in poolkoordinate uitgedruk is toegepas word 18 19 Die hoekkoordinaat 8 word in hierdie afdeling deurgaans in radiale uitgedruk Differensiasie Wysig Ons het die volgende formules r r x x y y displaystyle r tfrac partial partial r x tfrac partial partial x y tfrac partial partial y 8 y x x y displaystyle tfrac partial partial theta y tfrac partial partial x x tfrac partial partial y Om die Cartesiese helling van die raaklyn aan die poolkromme r 8 by enige gewe punt te verkry word die punt eers as n stel parametriese vergelykings geskryf x r 8 cos 8 displaystyle x r theta cos theta y r 8 sin 8 displaystyle y r theta sin theta Differensiasie van beide vergelykings met betrekking tot 8 lewer d x d 8 r 8 cos 8 r 8 sin 8 displaystyle frac dx d theta r theta cos theta r theta sin theta d y d 8 r 8 sin 8 r 8 cos 8 displaystyle frac dy d theta r theta sin theta r theta cos theta Deur die tweede vergelyking deur die eerste te deel word die Cartesiese helling van die raaklyn tot die kromme by punt r r 8 verkry d y d x r 8 sin 8 r 8 cos 8 r 8 cos 8 r 8 sin 8 displaystyle frac dy dx frac r theta sin theta r theta cos theta r theta cos theta r theta sin theta Intergraalanalise Wysig Die integrasie oor gebied R word begrens deur die kromme r 8 en die strale 8 a en 8 b Laat R die gebied aandui ingesluit deur r 8 en die strale 8 a en 8 b waar 0 lt b a lt 2p Dan is die oppervlak van R 1 2 a b r 8 2 d 8 displaystyle frac 1 2 int a b r theta 2 d theta Die gebied R word benader deur n sektore hier n 5 Hierdie resultaat kan as volg gevind word Eers word die interval a b verdeel in n subintervalle waar n n arbitrere positiewe heelgetal is Dus D8 die lengte van elke subinterval is gelyk aan b a die totale lengte van die interval gedeel deur n die aantal subintervalle Vir elke subinterval i 1 2 n laat 8i die middelpunt van die subinterval wees en konstrueer n sektor met die middelpunt by die pool radius r 8i sentrale hoek D8 en booglengte r 8 i D 8 displaystyle r theta i Delta theta Die oppervlak van elke gekonstrueerde sektor is dus gelyk aan 1 2 r 8 i 2 D 8 displaystyle tfrac 1 2 r theta i 2 Delta theta Gevolglik is die totale oppervlak van al die sektore i 1 n 1 2 r 8 i 2 D 8 displaystyle sum i 1 n tfrac 1 2 r theta i 2 Delta theta Soos die aantal subintervalle n vermeerder word word die benadering van die oppervlak al hoe beter In die limiet soos n word die som die Riemann som vir die bostaande integraal Veralgemening Wysig Deur Cartesiese koordinate te gebruik kan n infinitesimale oppervlak element bereken word as dA dx dy Die substitusie reel vir vermenigvuldiging stel dat wanneer ander koordinate gebruik word die Jacobiaanse determinant van die koordinateomskakelingformule oorweeg moet word J det x y r 8 x r x 8 y r y 8 cos 8 r sin 8 sin 8 r cos 8 r cos 2 8 r sin 2 8 r displaystyle J det frac partial x y partial r theta begin vmatrix frac partial x partial r amp frac partial x partial theta frac partial y partial r amp frac partial y partial theta end vmatrix begin vmatrix cos theta amp r sin theta sin theta amp r cos theta end vmatrix r cos 2 theta r sin 2 theta r Gevolglik kan n oppervlak element in poolkordinate geskryf word as d A J d r d 8 r d r d 8 displaystyle dA J dr d theta r dr d theta Nou n funksie wat in poolkoordinate gegee word kan as volg geintegreer word R f r 8 d A a b 0 r 8 f r 8 r d r d 8 displaystyle iint R f r theta dA int a b int 0 r theta f r theta r dr d theta Hier is R dieselfde gebied as hier bo naamlik die gebied ingesluit deur n kromme r 8 en die strale 8 a en 8 b Die formule vir die oppervlak van R word verkry deur f identies gelyk aan 1 te neem n Meer verrassende toepassing van hierdie resultaat gee die Gauss integraal e x 2 d x p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi Vektoranalise Wysig Analise kan toegepas word op uitdrukkings in poolkoordinate Laat r displaystyle mathbf r die posisievektor r cos 8 r sin 8 displaystyle r cos theta r sin theta wees met r en 8 displaystyle theta wat afhang van tyd t laat r displaystyle hat mathbf r n eenheidsvektor in die regting r displaystyle mathbf r wees en 8 displaystyle hat boldsymbol theta n eenheidsvektor reghoekig tot r displaystyle mathbf r Die eerste een tweede afgeleides van posisie is d r d t r r r 8 8 displaystyle frac d mathbf r dt dot r hat mathbf r r dot theta hat boldsymbol theta d 2 r d t 2 r r 8 2 r r 8 2 r 8 8 displaystyle frac d 2 mathbf r dt 2 ddot r r dot theta 2 hat mathbf r r ddot theta 2 dot r dot theta hat boldsymbol theta Laat A displaystyle mathbf A die oppervlakte wees gevee deur n lyn wat die fokus met n punt op die kromme verbind In die limiet is d A displaystyle d mathbf A helfte van die oppervlak van die parallelogram gevorm deur r displaystyle mathbf r en d r displaystyle d mathbf r d A 1 2 r d r displaystyle dA begin matrix frac 1 2 end matrix mathbf r times d mathbf r en die totale oppervlak sal die integraal van d A displaystyle d mathbf A met betrekking tot tyd wees Drie dimensies WysigDie poolkoordinatestelsel word deur twee verskillende koordinatestelsels na drie dimensies uitgebrei die silindriese en sferiese koordinatestelsels Silindriese koordinate Wysig n Punt afgestip met silindriese koordinate Die silindriese koordinatestelsel is n koordinatestelsel wat die tweedimensionele poolkoordinatestelsel uitbrei na drie dimensies deur n derde koordinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koordinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word Die derde dimensie word gewoonlik deur h voorgestel wat die drie koordinate r 8 h lewer Die drie silindriese koordinate kan na Cartesiese koordinate omgeskakel word deur x r cos 8 displaystyle x r cos theta y r sin 8 displaystyle y r sin theta z h displaystyle z h Sferiese koordinate Wysig n Punt afgestip deur middel van sferiese koordinate Poolkoordinate kan ook na drie dimensies uitgebrei word deur die sferiese koordinatestelsel In die koordinatestelsel word n punt afgestip deur die koordinate r f 8 waar r afstand van die pool is f die hoek van die z as bekend as die Engels colatitude of zenith en gemeet van 0 tot 180 en 8 die hoek van die x s soos in die poolkoordinatestelsel Die sferiese koordinatestelsel soortgelyk aan die breedtegraad en lengtegraad stelsel wat op die aarde gebruik word met die breedtegraaddie komplement van f wat bepaal word deur d 90 f en die lengtegraad gemeet word deur l 8 180 20 Die drie sferiese koordinate word omgekakels na Cartesiese koordinate deur x r sin ϕ cos 8 displaystyle x rho sin phi cos theta y r sin ϕ sin 8 displaystyle y rho sin phi sin theta z r cos ϕ displaystyle z rho cos phi Toepassings WysigPoolkoordinate is tweedimensioneel en kan dus slegs gebruik word waar punte op n enkele tweedimensionele vlak le Poolkoordinate is veral geskik in gevalle waar die verskynsel wat beskryf word inherent verband hou met die lengte en rigting van n sentrale punt Elementere poolkoordinaatvergelyking kan by voorbeeld krommes soos die Archimedesspiraal beskryf terwyl die ekwivalente vergelyking in Cartesiese koordinate heelwat meer ingewikkeld sou wees Verder word baie fisiese verskynsels soos die wat bemoei is met liggame wat om n sentrale punt beweeg of waar verskynsels hulle oorsprong by n sentrale punt het kan baie eenvoudiger en op meer intuitiewe wyse gemodelleer wanneer poolkoordinate gebruik word Die aanvanklike rede vir die invoer van die poolkoordinatestelsel was om die studie van sirkulere en orbitale beweging moontlik te maak Posisie en navigasie Wysig Poolkoordinate word baiekeer in navigasie gebruik aangesien die bestemming en bewegingsrigting as n hoek en die afstand van voorwerp wat beskou word gegee kan word Vliegtuie gebruik byvoorbeeld n effens aangepaste weergawe van die poolkoordinatestelsel vir navigasie In die stelsel wat gewoonlik vir enige vorm van navigasie gebruik word word die 0 straal gewoonlik 360 genoem en word die hoek in kloksgewyse rigting gemeet eerder as in die teenkloksgewyse rigting wat in die wiskundige stelsel gebruik word 360 kom ooreen met Noord terwyl 90 180 en 270 onderskeidelik met Oos Suid en Wes ooreenkom 21 Dus sal n vliegtuig wat teen 5 seemyl oosvlieg teen 5 eenhede in rigting 90 lees niner zero lugverkeerbeheer wees 22 Modellering Wysig Stelsel wat radiale simmetrie vertoon vorm n natuurlike toepassingsveld vir die poolkoordinatestelsel met die middelpunt wat as die pool dien n Goeie voorbeeld van die gebruik is die grondwatervloeivergelyking wanneer toegepas op radiaal simmetriese putte Stelsels met n radiale krag is ook goeie kandidate vir die gebruik van die poolkoordinatestelsel Dit sluit in gravitasievelde wat die omgekeerde vierkantwet gehoorsaam sowel as stelsels met puntbronne soos radio antennes Radiaal asimmetriese stelsels kan ook met poolkoordinate gemodelleer n Mikrofoon se opvangspatroon illustreer byvoorbeeld die eweredige reaksie tot n inkomende klank uit enige gegewe rigting en die patrone kan voorgestel word as polere krommes Die kromme van n standaard kardioiedmikrofoon die mees algemene eenrigtingmikrofoon kan voorgestel word as r 5 5 sin 8 23 Kepler se wette van planetere beweging Wysig Kepler se tweede wet Poolkoordinate is n natuurlike omgewing vir die uitdruk van Kepler se wette van planetere beweging Kepler se eerste wet stel dat die wentelbaan van n planeet om n ster n ellips vorm met een fokus by die middelpunt van die massamiddelpunt van die stelsel Bogenoemde vergelyking kan gebruik word om die ellips voor te stel Kepler se tweede wet die wet van gelyke oppervlaktes stel dat n lyn wat n planeet en sy ster verbind gelyke oppervlaktes vee tydens die gelyke tydintervalle dit wil se d A d t displaystyle d mathbf A over dt is konstant Die vergelykings kan afgelei word van Newton se bewegingswette Verwysings WysigWikimedia Commons bevat media in verband met Polar coordinate system 1 0 1 1 Brown Richard G 1997 Andrew M Gleason red Advanced Mathematics Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis Evanston Illinois McDougal Littell ISBN 0 395 77114 5 Encyclopaedia of Mathematics Polar coordinates besoek op 24 Februarie 2008 Encyclopaedia of Mathematics Orthogonal system besoek op 24 Februarie 2008 Friendly Michael Milestones in the History of Thematic Cartography Statistical Graphics and Data Visualization in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 20 Maart 2011 Besoek op 10 September 2006 5 0 5 1 The MacTutor History of Mathematics archive Coolidge s Origin of Polar Coordinates Coolidge Julian 1952 The Origin of Polar Coordinates American Mathematical Monthly 59 78 85 7 0 7 1 CB Boyer Newton as an Originator of Polar Coordinates The American Mathematical Monthly Vol 56 No 2 Feb 1949 pp 73 78 Klaasen Daniel Historical Topics for the Mathematical Classroom Miller Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 19 Julie 2008 Besoek op 10 September 2006 Smith David Eugene 1925 History of Mathematics Vol II Boston Ginn and Co p 324 Coolidge haal hom as volg aan A l egard des courbes a double courbure dont les coordonnes partent d un point ou dont les coordonnees representent des lignes courbes elles demandent une methode particuliere et peuvent fournier le sujet d un autre Traite que je compte donner au public Wat betref n kromme met dubbele kromming waarvan die koordinate die kromminglyne verteenwoordig dit vereis n spesifieke metode en kan die onderwerp van n ander verhandeling wees wat ek beplan om openbaar te maak Die aanhaling is uit Clairaut Recherches sur les courbes B double courbure Parys 1731 laaste bladsy van die Inleiding Hy het egter sover bekend nooit voortgegaan met die openbaar maak van die gedagte nie Polar Coordinates and Graphing PDF 2006 04 13 Geargiveer PDF vanaf die oorspronklike op 2007 09 28 Besoek op 2006 09 22 Principles of Physics Brooks ColeThomson Learning 2005 ISBN 0 534 49143 X Onbekende parameter coauthors geignoreer help Torrence Bruce Follett 1999 The Student s Introduction to Mathematica Cambridge University Press ISBN 0 521 59461 8 Onbekende parameter coauthors geignoreer help Polar coordinates in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 2 Maart 2000 Besoek op 25 Mei 2006 Ward Robert L Analytic Geometry Polar Coordinates in Japannees Geargiveer vanaf die oorspronklike op 9 Oktober 2019 Besoek op 25 Mei 2006 Smith Julius O 2003 Euler s Identity Mathematics of the Discrete Fourier Transform DFT W3K Publishing ISBN 0 9745607 0 7 Geargiveer vanaf die oorspronklike op 2006 09 15 Besoek op 2006 09 22 Husch Lawrence S Areas Bounded by Polar Curves in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 1 Maart 2000 Besoek op 25 November 2006 Lawrence S Husch Tangent Lines to Polar Graphs in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 21 November 2019 Besoek op 25 November 2006 Wattenberg Frank 1997 Spherical Coordinates in Engels Geargiveer vanaf die oorspronklike op 16 Mei 2013 Besoek op 16 September 2006 Santhi Sumrit Aircraft Navigation System in Frans Geargiveer vanaf die oorspronklike op 25 Oktober 2019 Besoek op 26 November 2006 Emergency Procedures PDF pdf Geargiveer PDF vanaf die oorspronklike op 2006 01 03 Besoek op 2007 01 15 Eargle John 2005 Handbook of Recording Engineering 4th uitg Springer ISBN 0 387 28470 2 Ontsluit van https af wikipedia org w index php title Poolkoordinatestelsel amp oldid 2446548,