fbpx
Wikipedia

Afgeleide

In die wiskunde en veral die differensiaalrekening is die afgeleide van 'n funksie by 'n punt die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie op die punt. Die woord 'afgeleide' is hier om die waarheid te sê 'n afgekorte term vir die begrip 'afgeleide waarde'. Dit is 'n waarde wat afgelei is uit die oorspronklike funksie. Bepaling van die afgeleide van 'n funksie word differensieer genoem.

As die afgeleide van 'n funksie f vir alle punte in die domein van f gedefinieer is, word die daardeur bepaalde funksie die afgeleide funksie of kortweg die afgeleide genoem. Die afgeleide van 'n funksie f word dikwels genoteer as f' ("f-aksent") of as d f d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}} . Die konsep van 'n afgeleide is in die 17de eeu byna tegelykertyd deur Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevind.

Inhoud

'n Fietsryer ry langs 'n reguit pad. Die afstand wat hy afgelê het in die tyd t sedert hy begin ry het, noem ons s(t). Hoe vinnig het hy op die tydstip t0 gery? Sy snelheid kan bepaal word deur te kyk watter afstand hy afgelê het in die tyd Δt ná die tydstip t0. Hierdie afstand is:

Δ s = s ( t 0 + Δ t ) s ( t 0 ) {\displaystyle \Delta s=s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})\!}

Sy gemiddelde snelheid in hierdie periode was dus:

v ¯ = Δ s Δ t {\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}} .

Hoe kleiner ons die periode Δt neem, hoe meer benader die gemiddelde snelheid die snelheid v(t0) op die tydstip t0. Die snelheid is die limiet vir Δt na 0 en word die afgeleide van s(t) na t genoem:

v ( t 0 ) = s ( t 0 ) = d s d t ( t 0 ) = lim Δ t 0 Δ s Δ t {\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})={\frac {ds}{dt}}(t_{0})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}} .

Laat f: RR 'n kontinue funksie wees. Ons beskou 'n lyn deur twee naby mekaar liggende punte op die Grafiek van f: die punt (x, f(x)) en die punt (x + Δx, f(x + Δx)). Die verskil tussen die x-koördinate van hierdie punte is Δx en die verskil tussen hun y-koördinate is Δf = Δy = f(x + Δx) – f(x). Die helling van die lyn deur hierdie twee punte is

Δ f Δ x = f ( x + Δ x ) f ( x ) Δ x . {\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}


As die limiet van hierdie uitdrukking vir Δx→0 bestaan, is die afgeleide van f in x gedefinieer as hierdie limiet:

f ( x ) = d f d x = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) f ( x ) Δ x . {\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}

As hierdie limiet bestaan, noem ons f differensieerbaar in x.

'n gelykwaardige definisie, wat eenvoudiger veralgemeen kan word na funksies van meer veranderlikes, is die volgende: Laat x0 'n reëele getal wees. As daar 'n reëele getal a en 'n funksie h bestaan sodat vir alle x geld

f ( x ) = f ( x 0 ) + a ( x x 0 ) + h ( x x 0 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+a\cdot (x-x_{0})+h(x-x_{0})}

en bowendien h(x) / x naar 0 gaan as x→0, dan is a die afgeleide van f in x0.

Teoretiese afleiding

  • afgeleide van f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

f ( x ) = lim Δ x 0 f ( x + Δ x ) f ( x ) Δ x = lim Δ x 0 ( x + Δ x ) 2 ( x 2 ) Δ x = lim Δ x 0 x 2 + 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 x 2 Δ x = lim Δ x 0 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 Δ x {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-(x^{2})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}} = lim Δ x 0 ( 2 x + Δ x ) = 2 x {\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x}

  • afgeleide van f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}}

Ons kan x n {\displaystyle x^{n}} skryf as x x n 1 {\displaystyle x{}x^{n-1}} , en daar die produkreël toepas: f ( x ) = x n 1 + x ( n 1 ) x n 2 = n x n 1 {\displaystyle f'(x)=x^{n-1}+x(n-1)x^{n-2}=nx^{n-1}} . Verder weet ons dat f ( x 2 ) = 2 x {\displaystyle f'(x^{2})=2x} (basisstap).

Op hierdie manier kan ons met behulp van induksie aflei dat die afgeleide n x n 1 {\displaystyle nx^{n-1}} is

  • afgeleide van f ( x ) = e x p ( x ) {\displaystyle f(x)=exp(x)}

f ( x ) = lim Δ x 0 exp ( x + Δ x ) exp ( x ) Δ x = lim Δ x 0 exp ( x ) exp ( Δ x ) exp ( x ) Δ x = exp ( x ) lim Δ x 0 exp ( Δ x ) 1 Δ x = exp ( x ) {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(x)\exp(\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}}=\exp(x)\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}}=\exp(x)} ,

want lim Δ x 0 exp ( Δ x ) 1 Δ x = 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}}=1} , uit die somdefinisie van exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} .

Verwante afgeleides

Ons stip vooraleers die nuttige formules in verband met afleides aan:

  • Kettingreël: as f ( x ) = g ( h ( x ) ) {\displaystyle f(x)=g(h(x))} , dan f ( x ) = g ( h ( x ) ) h ( x ) {\displaystyle {\frac {}{}}f'(x)=g'(h(x))h'(x)}
  • Produkreël: as ( f g ) = f g + f g {\displaystyle \,\!(fg)'=f'g+fg'}
  • Kwotiëntreël: as f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}} , dan f ( x ) = g ( x ) h ( x ) g ( x ) h ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}}
  • afgeleide van f(x)=sin(x)
    • uit sin(x)=cos(π-x)

sin ( x ) = cos ( π x ) {\displaystyle \sin(x)=\cos(\pi -x)} , uit die Kettingreël volg dan: ( sin ( x ) ) = ( cos ( π x ) ) = sin ( π x ) = cos ( x ) {\displaystyle (\sin(x))'=-(\cos(\pi -x))'=\sin(\pi -x)=\cos(x)}

  • uit cos ( x ) 2 + sin ( x ) 2 = 1 {\displaystyle \cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1}

sin ( x ) = ( 1 cos ( x ) 2 ) {\displaystyle \sin(x)={\sqrt {(}}1-\cos(x)^{2})}

  • afgeleide van f(x)=tan(x)

tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}} , uit die quotiëntregel volg dan f ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) sin ( x ) cos ( x ) cos ( x ) 2 = c o s ( x ) 2 + s i n ( x ) 2 cos ( x ) 2 = 1 cos ( x ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {\sin '(x)\cos(x)-\sin(x)\cos '(x)}{\cos(x)^{2}}}={\frac {cos(x)^{2}+sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}={\frac {1}{\cos(x)^{2}}}}

  • afgeleide van ln(x)

Ons kan dit aantoon met behulp van die kettingreël:

( exp ( ln ( x ) ) = exp ( ln ( x ) ) ln ( x ) = exp ( ln ( x ) ) ln ( x ) = x ln ( x ) {\displaystyle {\frac {}{}}(\exp(\ln(x))'=\exp '(\ln(x))\ln '(x)=\exp(\ln(x))\ln '(x)=x\ln '(x)} , want exp ( x ) = exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)=\exp '(x)} .

Eintlik is exp(ln(x)) gelyk aan x (uit die definisie van logaritme), en is die afgeleide aldus gelyk aan 1. Uiteraard bly die kettingreël geldig: ( exp ( ln ( x ) ) = x ln ( x ) = 1 {\displaystyle {\frac {}{}}(\exp(\ln(x))'=x\ln '(x)=1} , of die afgeleide van ln(x) is 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}}

  • afgeleide van cosh(x)) en sinh(x)

Net soos by die cosinus, kan ons gebruik maak van die someiëskap van die cosinus hyperbolicus: cosh ( a + b ) = cosh ( a ) cosh ( b ) + sinh ( a ) sinh ( b ) {\displaystyle \cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)} ; of ons gebruik die eiëskap cosh ( x ) = cos ( ı x ) {\displaystyle \cosh(x)=\cos(\imath x)} .

Beide resulteer in: cosh ( x ) = sinh ( x ) {\displaystyle \cosh '(x)=\sinh '(x)} , en omgekeer: sinh ( x ) = cosh ( x ) {\displaystyle \sinh '(x)=\cosh '(x)}

As f' ook differensieerbaar is, dan is dit moontlik om hiervan die afgeleide f te bepaal. Dié word dan die tweede orde afgeleide genoem, of kortweg tweede afgeleide van f. Selfs hoërorde afgeleides kom voor. Die ne afgeleide word dikwels aangedui met f (n).

Die afgeleide het veelvuldige belangrike toepassings in die wiskunde. So kan 'n maksimum of minimum van 'n funksie gevind word deur die afgeleide te bepaal. Indien 'n funksie in 'n bepaalde punt 'n (lokaal) maksimum of 'n (lokaal) minimum bereik, is die afgeleide van die funksie in die punt gelyk aan nul (indien die afgeleide bestaan). Om 'n grafiek van 'n funksie met die hand te teken is dit daarom sinvol om eers die uiteindelike maksima en minima te bepaal. Om te bepaal of die punte waarin die afgeleide gelyk is aan nul maksima or minima is, word soms gebruik gemaak van die Hessiaan.

Baie toepassings het die afgeleide ook in die natuurkunde. So is byvoorbeeld snelheid die afgeleide volgens die tyd van die plek (posisie). Versnelling is dan weer die afgeleide van snelheid.

Afgeleide
afgeleide, taal, wysig, wiskunde, veral, differensiaalrekening, afgeleide, funksie, punt, helling, raaklyn, grafiek, funksie, punt, woord, afgeleide, hier, waarheid, afgekorte, term, begrip, afgeleide, waarde, waarde, afgelei, oorspronklike, funksie, bepaling,. Afgeleide Taal Hou dop Wysig In die wiskunde en veral die differensiaalrekening is die afgeleide van n funksie by n punt die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie op die punt Die woord afgeleide is hier om die waarheid te se n afgekorte term vir die begrip afgeleide waarde Dit is n waarde wat afgelei is uit die oorspronklike funksie Bepaling van die afgeleide van n funksie word differensieer genoem As die afgeleide van n funksie f vir alle punte in die domein van f gedefinieer is word die daardeur bepaalde funksie die afgeleide funksie of kortweg die afgeleide genoem Die afgeleide van n funksie f word dikwels genoteer as f f aksent of as d f d x displaystyle frac mathrm d f mathrm d x Die konsep van n afgeleide is in die 17de eeu byna tegelykertyd deur Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevind Inhoud 1 Voorbeeld 2 Definisie 3 Afgeleide van funksie 3 1 Teoretiese afleiding 3 2 Verwante afgeleides 4 Hoerorde afgeleides 5 ToepassingsVoorbeeld Wysig n Fietsryer ry langs n reguit pad Die afstand wat hy afgele het in die tyd t sedert hy begin ry het noem ons s t Hoe vinnig het hy op die tydstip t0 gery Sy snelheid kan bepaal word deur te kyk watter afstand hy afgele het in die tyd Dt na die tydstip t0 Hierdie afstand is D s s t 0 D t s t 0 displaystyle Delta s s t 0 Delta t s t 0 Sy gemiddelde snelheid in hierdie periode was dus v D s D t displaystyle bar v frac Delta s Delta t Hoe kleiner ons die periode Dt neem hoe meer benader die gemiddelde snelheid die snelheid v t0 op die tydstip t0 Die snelheid is die limiet vir Dt na 0 en word die afgeleide van s t na t genoem v t 0 s t 0 d s d t t 0 lim D t 0 D s D t displaystyle v t 0 s t 0 frac ds dt t 0 lim Delta t to 0 frac Delta s Delta t Definisie WysigLaat f R R n kontinue funksie wees Ons beskou n lyn deur twee naby mekaar liggende punte op die Grafiek van f die punt x f x en die punt x Dx f x Dx Die verskil tussen die x koordinate van hierdie punte is Dx en die verskil tussen hun y koordinate is Df Dy f x Dx f x Die helling van die lyn deur hierdie twee punte is D f D x f x D x f x D x displaystyle frac Delta f Delta x frac f x Delta x f x Delta x As die limiet van hierdie uitdrukking vir Dx 0 bestaan is die afgeleide van f in x gedefinieer as hierdie limiet f x d f d x lim D x 0 f x D x f x D x displaystyle f x frac mathrm d f mathrm d x lim Delta x to 0 frac f x Delta x f x Delta x As hierdie limiet bestaan noem ons f differensieerbaar in x n gelykwaardige definisie wat eenvoudiger veralgemeen kan word na funksies van meer veranderlikes is die volgende Laat x0 n reeele getal wees As daar n reeele getal a en n funksie h bestaan sodat vir alle x geld f x f x 0 a x x 0 h x x 0 displaystyle f x f x 0 a cdot x x 0 h x x 0 en bowendien h x x naar 0 gaan as x 0 dan is a die afgeleide van f in x0 Afgeleide van funksie WysigTeoretiese afleiding Wysig afgeleide van f x x 2 displaystyle f x x 2 f x lim D x 0 f x D x f x D x lim D x 0 x D x 2 x 2 D x lim D x 0 x 2 2 x D x D x 2 x 2 D x lim D x 0 2 x D x D x 2 D x displaystyle f x lim Delta x to 0 frac f x Delta x f x Delta x lim Delta x to 0 frac x Delta x 2 x 2 Delta x lim Delta x to 0 frac x 2 2x Delta x Delta x 2 x 2 Delta x lim Delta x to 0 frac 2x Delta x Delta x 2 Delta x lim D x 0 2 x D x 2 x displaystyle lim Delta x to 0 2x Delta x 2x afgeleide van f x x n displaystyle f x x n Ons kan x n displaystyle x n skryf as x x n 1 displaystyle x x n 1 en daar die produkreel toepas f x x n 1 x n 1 x n 2 n x n 1 displaystyle f x x n 1 x n 1 x n 2 nx n 1 Verder weet ons dat f x 2 2 x displaystyle f x 2 2x basisstap Op hierdie manier kan ons met behulp van induksie aflei dat die afgeleide n x n 1 displaystyle nx n 1 is afgeleide van f x e x p x displaystyle f x exp x f x lim D x 0 exp x D x exp x D x lim D x 0 exp x exp D x exp x D x exp x lim D x 0 exp D x 1 D x exp x displaystyle f x lim Delta x to 0 frac exp x Delta x exp x Delta x lim Delta x to 0 frac exp x exp Delta x exp x Delta x exp x lim Delta x to 0 frac exp Delta x 1 Delta x exp x want lim D x 0 exp D x 1 D x 1 displaystyle lim Delta x to 0 frac exp Delta x 1 Delta x 1 uit die somdefinisie van exp x displaystyle exp x Verwante afgeleides Wysig Ons stip vooraleers die nuttige formules in verband met afleides aan Kettingreel asf x g h x displaystyle f x g h x dan f x g h x h x displaystyle frac f x g h x h x Produkreel as f g f g f g displaystyle fg f g fg Kwotientreel as f x g x h x displaystyle f x frac g x h x dan f x g x h x g x h x h x 2 displaystyle f x frac g x h x g x h x h x 2 afgeleide van f x sin x uit sin x cos p x sin x cos p x displaystyle sin x cos pi x uit die Kettingreel volg dan sin x cos p x sin p x cos x displaystyle sin x cos pi x sin pi x cos x uit cos x 2 sin x 2 1 displaystyle cos x 2 sin x 2 1 sin x 1 cos x 2 displaystyle sin x sqrt 1 cos x 2 afgeleide van f x tan x tan x sin x cos x displaystyle tan x frac sin x cos x uit die quotientregel volg dan f x sin x cos x sin x cos x cos x 2 c o s x 2 s i n x 2 cos x 2 1 cos x 2 displaystyle f x frac sin x cos x sin x cos x cos x 2 frac cos x 2 sin x 2 cos x 2 frac 1 cos x 2 afgeleide van ln x Ons kan dit aantoon met behulp van die kettingreel exp ln x exp ln x ln x exp ln x ln x x ln x displaystyle frac exp ln x exp ln x ln x exp ln x ln x x ln x want exp x exp x displaystyle exp x exp x Eintlik is exp ln x gelyk aan x uit die definisie van logaritme en is die afgeleide aldus gelyk aan 1 Uiteraard bly die kettingreel geldig exp ln x x ln x 1 displaystyle frac exp ln x x ln x 1 of die afgeleide van ln x is 1 x displaystyle frac 1 x afgeleide van cosh x en sinh x Net soos by die cosinus kan ons gebruik maak van die someieskap van die cosinus hyperbolicus cosh a b cosh a cosh b sinh a sinh b displaystyle cosh a b cosh a cosh b sinh a sinh b of ons gebruik die eieskap cosh x cos i x displaystyle cosh x cos imath x Beide resulteer in cosh x sinh x displaystyle cosh x sinh x en omgekeer sinh x cosh x displaystyle sinh x cosh x Hoerorde afgeleides WysigAs f ook differensieerbaar is dan is dit moontlik om hiervan die afgeleide f te bepaal Die word dan die tweede orde afgeleide genoem of kortweg tweede afgeleide van f Selfs hoerorde afgeleides kom voor Die ne afgeleide word dikwels aangedui met f n Toepassings WysigDie afgeleide het veelvuldige belangrike toepassings in die wiskunde So kan n maksimum of minimum van n funksie gevind word deur die afgeleide te bepaal Indien n funksie in n bepaalde punt n lokaal maksimum of n lokaal minimum bereik is die afgeleide van die funksie in die punt gelyk aan nul indien die afgeleide bestaan Om n grafiek van n funksie met die hand te teken is dit daarom sinvol om eers die uiteindelike maksima en minima te bepaal Om te bepaal of die punte waarin die afgeleide gelyk is aan nul maksima or minima is word soms gebruik gemaak van die Hessiaan Baie toepassings het die afgeleide ook in die natuurkunde So is byvoorbeeld snelheid die afgeleide volgens die tyd van die plek posisie Versnelling is dan weer die afgeleide van snelheid Ontsluit van https af wikipedia org w index php title Afgeleide amp oldid 1969315,